Diciembre

2 de diciembre del 2016

Clase #12

Eventos Independientes

Son eventos independientes si se cumple: 

P(A\B) = P(A) ꓥ  P(B\A) = P(B)

Definición:

Sean A y B eventos independientes entonces se cumple: 

P(A∩B) = P(A) P(B)

9 de diciembre del 2016

Clase #13

En esta clase se realizó la evaluación 2, cuya corrección la podrán encontrar en Evidencias, esta prueba contenía temas de muestras bivariadas y probabilidad.

SEGUNDO BIMESTRE

13 de diciembre del 2016

Clase #1

Variables Aleatorias

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral S un número real.

Se utilizan letras mayúsculas,por lo general las últimas: X, Y, ...; para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Se clasifican en:

          - Variables Aleatorias Discretas

          - Variables Aleatorias Continuas

Variables Aleatorias Discretas

Sean: X: Variable aleatoria
          S: Espacio muestral 

          e: Evento 

          x: Valor que puede tomar X
         R: conjunto de los números reales

entonces,

         X:   S → R
                e → X

es la correspondencia que establece la variable aleatoria X.

                                      dom X = S

                                       rang X ϵ  S

Ejemplos:

1. En un experimento se lanzan 3 monedas y se observa el resultado, describa el espacio muestral para este experimento y describa una variable aleatoria para el número de sellos que se obtiene.

c: cara                              Experimento: lanzamiento de 3 monedas.

s: sello

S = {ccc, scc, csc, ccs, ssc, scs, css, sss}

X= número de sellos

x = {0, 1 ,2 ,3} = rang X

Y= Diferencia entre número de caras y sellos

y = {3, 1, -1, -3} = rang Y

Z= Número de caras al cubo más el doble del número de sellos

z = {27, 10, 5, 6}= rang Z

2. En un experimento se lanza repetitivamente una moneda. Determine el rango y el tipo de variable aleatoria discreta.

Experimento: Lanzar una moneda repetitivamente

X: Cantidad de lanzamientos realizados hasta que salga un sello

S ={s, cs, ccs, cccs, ccccs,.....}

x = {1 ,2 ,3, 4,.......} = rang X

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Sea X una variable aleatoria discreta (v.a.d), entonces P(X = x) representa la probabilidad de que la v.a.d para q tomo el valor de x.

Sean: X = v.a.d 
          f(X) = P(X = x)

entonces,
          f: X → R
          x → P(X = x)

    Propiedades:         

        1. ꓯx / f(x) ≥ 0
        2. Ʃ f(x) = 1

    Ejemplos:

1. Para el ejemplo de lanzamiento de las 3 monedas . Determine la función de distribución de la probabilidad.

Descripción:
Representa la función de distribución de la probabilidad del experimento del lanzamiento de las 3 monedas.

Interpretación:
Se puede observar que los datos están distribuidos simétricamente.

2. En un lote de 5 artículos, 3 son defectuosos y 2 aceptables. Se toma una muestra aleatoria sin reemplazo de 2 artículos encuentre la distribución de probabilidad de la variable aleatoria, cantidad de artículos defectuosos que se obtiene en la muestra.

Experimento: Extracción de 2 artículos sin reemplazo.

X: Cantidad de artículos defectuosos.
a b c: Artículos defectuosos.
d e: Artículos aceptables.

S= {(a,b); (a,c); (b,c); (a,d); (a,e); (b,d); (b,e); (c,d); (c,e); (d,e)}
n=10

Descripción:
Representa la función de distribución de la probabilidad del experimento de la extracción de 2 artículos sin reemplazo.

Interpretación:
Se puede observar que los datos  no están distribuidos simétricamente.

16 de diciembre del 2016

Clase #2

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ACUMULADA

Sean   X: v.a.d

            f: Distribución de probabilidad

           F: Distribución de probabilidad acumulada

entonces,

F(X) = P(X=x) = Ʃ f(x)

F:   R   →    R

dom F: R

rang F: C[0,1]

     Propiedades:

1. lim X→-∞  F(X)=0            y         lim X→+∞  F(X)=1

2. 0  ≤  F(X)  ≤  1

3. a < b   →   F(a) < F(b)

4. P(X>a) =1   →   P(X ≤ a) =1 - F(a)

      Ejemplo:

Determine:
a) F(X)

         

b) F(2,5) = P(X ≤ 2,5) =7/8
c) F(-3,4) = P(X ≤ -3,4) = 0
d) F(24,7) = P(X ≤ 24,7) = 1
e) P(X>2,5) = 1- P(X ≤ 2,5) = 1-7/8 = 1/8

ESPERANZA Y VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

ESPERANZA

Sean         X: v.a.d

                 f(X): Distribución de probabilidad de X

                 u = E(X) = Media o valor esperado de X

entonces, 

u =   E(X) =  Ʃ x . f(X)

      Propiedades:

1. E(c) = c; donde c = constante

2. E(cX) = c . E(X)

3. E(X + Y) = E(X) + E(Y)

4. Si Y = aX + b; donde a, b = constantes y X,Y = v.a.d

     entonces,

        E(Y) = E(aX) + E(b)

        E(Y) = a . E(X) + b

      Ejemplos:

1. Determinar la esperanza para el exprimento del lanzamiento de las 3 monedas.

uX = E(X) =  Ʃ x . f(x)

E(X) = 0* 1  + 1* 3  + 2* 3  + 3* 1 

                 8        8         8         8

E(X) =  3 

             2 

20 de diciembre del 2016

Clase #3

VARIANZA

Sea         X: v.a.d
              f(X): Distribución de probabilidad de X
              V(X) = σ²(X) = Varianza de X

entonces,

V(X) = σ²(X) = E(X- uX)² = Ʃ (X- uX)² . f(X) 

V(X) =  E(X²) - uX² = E(X²) - (E(X))2

       Propiedades:

1. V(c) = 0, donde c = constante 

2. V(cX) = c² . V(X)

3. V(X + Y) = V(X) + V(Y), donde X,Y = v.a.d 

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

σX = √V(X)

     Ejemplos:

1. Una persona quiere abrir una puerta y tiene 5 llaves de las cuales solo una corresponde a la cerradura, la persona va eligiendo al azar y probando abrir la puerta. Calcular la esperanza y la varianza del número de intentos si se separa las llaves que probó anteriormente.

  

Variables Aleatorias Continuas

      Definición:

- La variable cuyo recorrido es un intervalo finito o infinito de R se llama variable aleatoria continua (v.a.c).

- También se dice que X es una v.a.c si:

P(X=x) = 0

- Sea       X: v.a.c
               La función real F, tal que:

ꓯt ϵ R, F(t) = P(X ≤ t)

               Se denomina la función de distribución de la variable aleatoria X.

      Propiedades:

1. F es creciente

lim X→-∞  F(X)=0            y         lim X→+∞  F(X)=1

2. P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ x < b) = P(a < X ≤ b)

FUNCIÓN DE DENSIDAD

La función de densidad de una v.a.c. X es una función real f, tal que:

i) f(X) = 0

 

iii) Para cualquier intervalo A= [a,b]; se tiene:

        

   Ejemplo:

REFERENCIAS

VITUTOR. (2014). Variable Aleatoria. Disponible en: http://www.vitutor.com/pro/3/a_1.html
NAVIDI, W., (2006). Estadística para ingenieros y científicos. The MacGraw-Hill. México, D.F.