Enero

3 de enero del 2017

Clase #4

ESPERANZA Y VARIANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Sean:    X: v.a.c

             f(X): Funcion de densidad de probabilidad de X.

entonces:

Se cumple las propiedades de la media y varianza para v.a.d

      Ejemplos:

1. Calcule la media y la varianza para la varable X que representa el tiempo de tensión en horas en una estación de servicio siendo su densidad de probabilidad:   

6 de enero del 2017

Clase #5

Distribución de Bernoulli

Es una distribución de probabilidad discreta, que toma dos únicos valores que son: valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q=1-p).

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p. La

notación es:

 X ∼ Be(p).

Su función de probabilidad es:

    Esperanza y Varianza:

E(X) = p

Var(X) = p.q

     Ejemplos:

1. Cuando se lanza un dado

      

P(éxito) = 1/6                       X ∼ Be(1/6)

P(fracaso) = 5/6

2. Encuentre la probabilidad de éxito y  fracaso según la función de densidad dada.

P(éxito) = 2/6 = 1/3

P(fracaso) = 4/6 = 2/3

Distribución Binomial

La distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una Probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

donde:

n: número de pruebas

k: número de éxitos

p: probabilidad de éxito

q: probabilidad de fracaso

X tiene la distribución binomial con parámetros n y p, que se denota como:

X ∼ Bin(n, p)

    Esperanza y Varianza:

E(X) = n.p

Var(X) = n.p.q   

    Características:

• n debe ser una cantidad finita.
• Cada ensayo tiene dos únicos resultados (éxito y fracaso).
• Todos los ensayos son independientes.
• X es el número de éxitos en los n ensayos.

    Ejemplos:

1. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar si o no, suponiendo que a las personas que se les aplica no saben contestar a ninguna pregunta y en consecuencia, contestan al azar. Hallar la probabilidad de obtener cinco aciertos.

n = 10

k = 5

p = 0.5

q = 0.5

2. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciado en Farmacia es 0.3 . Hallar la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer curso finalice la carrera.

n = 7

p = 0.3

q = 0.7

10 de enero del 2017

Clase #6

Distribución de Poisson

Es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.
Probabilidad de que ocurra un determinado suceso k veces e un intervalo de tiempo, longitud o espacio, de un tamaño determinado.

donde:

λ: promedio de éxitos por unidad de tiempo

k: número de éxitos

X sigue una distribución de Poisson con parámetro λ. La notación es: 

X ∼ Poisson(λ).

  Esperanza y Varianza:

E(X) =  λ
Var(X) =  λ

  Características:

• X es una variable aleatoria discreta, cuyos posibles valores son enteros no negativos.
• El parámetro λ es una constante positiva.
• La función de masa de probabilidad de Poisson se aproxima mucho a la función de masa de probabilidad binomial cuando n es grande, p es pequeña y λ np.

    Ejemplos:

1. El promedio de llamadas que pasan por una central telefónica en un minuto es igual a dos. Hallar la probabilidad de que en tres minutos se hagan:

  a) 4 llamadas

  b) Menos de 4 llamadas

  c) Al menos 4 llamadas 

λ = 2 llamadas/min                             λt = 2 llamdas/min * 3 min

t = 3 min                                             λt = 6 llamadas 

2. Un vendedor de seguros de vida vende en promedio 3 pólizas por semana. Calcular la probabilidad de:

  a)  Que venda algunas pólizas en una semana.

  b) Que venda dos o más pólizas pero menos de 5 en una semana.

  c) Calcule la media y la varianza de la distribución de probablidad que se infiere de este         

     problema.

  d) Suponiendo que aya 5 días de trabajo por semana. Cuál es la probabilidad de que en un día           dado venda una póliza?

λ = 3 polizas/semana

λ = 3/5 = 0.6

Distribución Geométrica

En la distribución geométrica lo que se busca es el número de pruebas necesarias para que ocurra un éxito, es decir, el experimento consiste de una serie infinita de pruebas.

Sea X el número de experimentos hasta incluir el primer éxito. Por lo tanto X es una variable aleatoria discreta La cual tiene una distribución geométrica con parámetro p. Se expresa como: 

X~ Geom(p)

SI X es una variable aleatoria geométrica con éxito p y fracaso q=1-p. Entonces su función de densidad es:

P(X=k)=qk-1.p,          para k=1,2,3…

  Esperanza y Varianza:

E(X)=1/p

V(X)=(1-p)/p2

 Características:

• La variable aleatoria al igual que en la distribución binomial, sólo puede tomar dos valores (éxito o fracaso).
• Las pruebas son también idénticas e independientes entre sí.
• La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba.

    Ejemplos:

1. Sí el 25% de la población, del D.F. está a favor del candidato Cuauhtémoc Cárdenas para las elecciones del 2000.
    a) Encuentre la probabilidad que la primera persona que esté a favor del candidato Cárdenas,  

        se encuentre después de la quinta persona entrevistada.
    b) ¿Cuántas personas se espera entrevistar hasta encontrar la primera que esté a favor del
        candidato Cárdenas? 

X: “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que esté a favor del candidato”.

a) 
     P(X>5)=q5= (0.75)5=0.2373

b)

     E(x)= 1/p

     E(x)=1/0.25

     E(x)= 4

2. Un jugador de baloncesto se dispone a tirar hasta anotar una canasta. Sí se supone que sus tiros son independientes y la probabilidad de anotar una canasta es de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de necesitar efectuar

    a) Dos tiros

    b) Tres tiros

    c) Cuatro tiros

    d) Cinco tiros

p = 0.8

q = 0.2

 a)
P( Y=2 ) =q p = (0.2)*(0.8) = 0.16
 b)

P( Y=3 ) = q2p = (0.2)2(0.8 )= 0.032

 c)

P( Y=4 ) = q3p = (0.2)3(0.8) = 0.0064

 d)

P( Y=5) = q4p = (0.2)4(0.8) = 0.00128

13 de enero del 2017

Clase #7

Distribución Binomial Negativa

Las pruebas se repetirán hasta que ocurra un número fijo de éxitos.

X tiene una distribución binomial negativa con parámetros r y p. Se expresa como:

 X  ~ NB(r, p).

entonces:

donde:

X: número de ensayos hasta hallar al r-ésimo éxito.

r: numero de éxitos.

  Propiedades:

• Independientes.
• Solo dos posibles resultados (éxito y fracaso).
• probabilidad constate de obtener éxito.

  Esperanza y Varianza:

E(X) = r / p
V(X) = r * q/p2

   Ejemplos:

1. Una maquina que está dañada envaa latas de conserva de una en una y de manera independinte. Se considera que el 5% de lo envasado resulta defectuoso. Si la máquina se detiene apenas produce el tercer defectuoso.
   a) Cuál es el número de latas producido hasta que se detiene la máquina?
   b) Cuál es el  probabilidad de que la máquina se detenga en la noveno lata producida?
   c) Cuál es la probabilidad de que se detenga sin producir ninguna lata buena?

X = número de latas producidas

p = 0.05

r = 3

17 de enero del 2017

Clase #8

Distribución Hipergeométrica

Se refieren a los experimentos que consisten, en tomar muestras sin reposición, de un conjunto finito, el cual contiene rsultados considerados "Éxitos" y "Fracasos".

  Definición:

Sean: N: cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra.
          k: cantidad de elementos que se consideran éxitos.
          n: tamaño de la muestra.
          x: v.a.d (cantidad de resultados éxitosos)

Se considerar que la distribución Hipergeométrica se aproxima a la distribución binomial si n < 0.05N.

  Esperanza y Varianza

 entonces:

 X ∼ H(X, N, k, n)  → X ∼ Bi(n, k/N)

   Ejemplos:

1. Una caja contiene 9 baterías, de los cuales 4 están en buen estado y los restantes defectuosos. Se toma una muestra eligiendo al azar 3 baterías . Calcule la probabilidad que en la muestra se obtengan:

  a) Ninguna batería e buen estado.

  b) Al menos una batería en buen estado.

  c) No mas de dos baterias en buen estado.

Distribución Uniforme de Variables Discretas

Cuando el resultado de una experiencia aleatoria puede ser un conjunto finito de n posibles resultados, todos ellos igualmente probables.

Su función de distribución viene dada por:

P(X=k) = 1/n

   Esperanza y Varianza:

   Características:

• Mismo grado de probabilidad.
• Viene dado por la inversa de los valores que puede tomar la variable aleatoria.
• Sigue una probabilidad de distribución uniforme.
• Siempre coincide con uno de los valores de la misma observados en el experimento.
• No depende de los valores que puede tomar la variable interesa el total del numero de resultados.

   Ejemplos:

1. Se lanza un dado con forma de octaedro, considerando la variable aleatoria que describa el número de puntos que aparece. Determinar su esperanza y varianza.

X = "Posibles resultados al lanzar un dado octaédro"

x = {1,2,3,4,5,6,7,8}

2. Una máquina registra en minutos completos la diferencia de tiempo en el paso de camiones por cierto lugar de la carretera. Se sabe que la diferencia máxima puede ser de 9 min, si se asume que los arribos son aleatorios, calcular el tiempo que se esperaría exista entre arribos consecutivos y su varianza.

X= "Tiempo en minutos en el paso de camiones".

x = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Distribución Uniforme de Variables Continuas

Surge al considerar una variable aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito. Su nombre se debe al hecho de que la densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme sobre todo su intervalo de definición.

La probabilidad en cada punto está dado por:

  Características:

• Su probabilidad es constante en el intervalo [a,b].
• Fuera del intervalo la probabilidad es igual a 0.

X ~ U[a,b]

  Esperanza y Varianza:

  Ejemplos:

1. Una variable X tiene una distribución uniforme sobre [-2,3].

     a) Calcular P(X=1)

     b) Hallar un valor de t talque P(X > t) = 1/3

2. Se sabe que el peso X de ciertos bloques de acceso es una v.a.c. distribuída uniformemente en

    el intervalo [50,70]. Determinar:

     a) La función de densidad de la variable.

     b) La probabilidad de que si se pesa un bloque seleccionado al azar pese cuando menod 62 

         toneladas.

20 de enero del 2017

Clase #9

En esta clase se realizó la Evaluación 3, en la cual se evaluó los siguintes temas:

• Variables aleatorias discretas
• Variables aleatorias contínuas
• Distribución de probabilidad Bernoulli, Binomial, Poisson, Binomial Negativa, Geométrica, Hipergeométrica, Uniforme.

24 de enero del 2017

Clase #10

Distribución Normal

Es utilizado para descubrir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurre en la naturaleza y también realizado por los humanos.
La distribución normal es continua en vez de discreta. La media de una variable aleatoria
normal puede tener cualquier valor y la varianza cualquier valor positivo. La función de
densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con media µ y varianza  σ² está dada por:

X ~ N(µ,σ²)

  Propiedades:

1)  f(X) ≥ 0 , X ϵ (-∞,+∞)

2) 

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

La distribución normal estándar es una distribución normal (forma de campana) en la que las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia útiles para estimar el porcentaje de observaciones de datos. Estos valores de referencia son la base de muchas pruebas de hipótesis, como las pruebas Z y t.
La distribución Normal estándar es la distribución Normal N (0, 1) que tiene media 0 y varianza 1. Si una variable x tiene una distribución Normal N (µ, σ²) entonces la variable estándar lo es:

entonces:

Z  ~ N(0,1)

Su función viene dada por:

y su función de distribución:

  Tablas:

• 𝑃( 0 ≤ 𝑧 ≤ a) 

• 𝑃 (−∞ < 𝑧 ≤ a) (a ≥ 0) 

• 𝑃 (−∞ < 𝑧 ≤ a ) (a ≤ 0)

   Ejemplos:

1. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°

X: Temperatura máxima

2. Se sabe que el gasto en cigarrillos para los fumadores es $5 diarios en término medio, con una varianza de 0.64. Suponiendo que el gasto sigue una distribución normal. ¿Qué proporción de los fumadores gastan entre $4 y $6.2 diarios?

X∼N(5; 0.64)

27 de enero del 2017

Clase #11

Distribución Exponencial

La distribución exponencial es una distribución continua que algunas veces se utiliza para modelar el tiempo que transcurre antes de que ocurra un evento. A menudo, a aquél se le llama tiempo de espera.

Si X es una variable aleatoria cuya distribución es exponencial con parámetro λ, se expresa como:

 X ∼ Exp(λ)

La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial tiene un parámetro,
que representa una constante positiva λ cuyo valor determina la localización y forma de
la función.

Es fácil calcular la función de distribución acumulativa de la distribución exponencial. Para x≤0, F(x) = P(X ≤ x) = 0. Para x > 0, la función de distribución acumulativa es:

  Propiedades:

• No tiene memoria

• Si X1….., X2 es una muestra aleatoria de Exp (λn) entonces el parámetro de λ se estima con:

• La incertidumbre de λ se estima con

 El estimado es razonablemente bueno cuando n>20

   Esperanza y varianza:

   Relación entre el proceso de Poisson y la Distribución Exponencial

Distribución exponencial es el modelo correcto

    Ejemplos:

1. Actualmente un circuito tiene 4 años y con funcionamiento. Determine la probabilidad de que funciones 3 años más.

31 de enero del 2017

Clase #12

Teorema del Límite Central

El teorema del límite central establece que si se extrae una muestra lo suficientemente grande de una población, entonces la distribución de la media muestral es aproximadamente normal, sin importar de qué tipo de población haya sido extraída la muestra tenemos.

Sea X1….., Xn una muestra aleatoria simple de una población con media µ y varianza σ2

Sea :

la media muestral.
Sea Sn=X1+....+Xn; la suma de las observaciones muestrales
Si n es demasiado grande

  Propiedades:

• Para la mayoría de las poblaciones, si el tamaño muestral es mayor a 30, la aproximación del teorema del límite central es buena.
• Tenemos una muestra aleatoria (son independientes e igualmente distribuidas) , con una media común µ y σ2 ,
• Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población que tiene media μ y varianza σ2, entonces:

• Es una variable aleatoria cuya función de probabilidad se aproxima a la Distribución Normal Estándar a medida que n aumenta.

   Ejemplos:

1. Un fabricante especifica que cada paquete de su producto tiene un peso promedio 22.5 gr. Con una desviación estándar de 2.5 gr. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de 40 paquetes de este producto tenga un peso promedio menor o igual que 20 gr.

X: Peso en gramos

2. En una universidad grande, la media de la edad de los estudiantes es 22.3 años y la desviación estándar es de cuatro años. Se toma una muestra aleatoria de 64 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que la edad promedio de estos estudiantes sea mayor a 23 años?

REFERENCIAS

PAZMIÑO,F.,(2012). Distribución de Bernoulli y Distribución Binomial. Dosponible en: http://fernando725.blogspot.com/2012/11/distribucion-de-bernoulli.html
MINITAB.  ¿Qué es la distribución normal estándar? Disponible en: http://support.minitab.com/es-mx/minitab/17/topic-library/basic-statistics-and-graphs/introductory-concepts/standard-deviation-variance-and-the-normal-distribution/standard-normal-distribution/

NAVIDI, W., (2006). Estadística para ingenieros y científicos. The MacGraw-Hill. México, D.F.