Febrero

3 de febrero del 2017

Clase #13

Intervalo de Confianza para la Media Poblacional con Muestras Grandes

En la práctica, interesa no solamente dar una estimación puntual de un parámetro sino, un intervalo que permita precisar la incertidumbre existente en la estimación, así como la precisión con la que se ha realizado la estimación puntual.

Cuando se estima un parámetro, es necesario determinar qué tan cerca está la estimación puntual del valor real.

• Una forma de determinar determinar la precisión de la estimación es con el error estándar
• Otra forma de estimar la precisión es con los intervalos de confianza

Se necesita:

n : tamaño de la muestra

µ : dato promedio población
s : desviación estandar

α: nivel de significancia

(1-α): intervalo de confianza

    Ejemplos:

1. La media y desviación estándar muestrales para todos los pesos de llenado de las 100 cajas, son “µ”= 12.05 y “s”= 0.1. Encuentre un intervalo de confianza de 85% para la media de los pesos de llenado de las cajas.

Distribución de Muestreo de la Proporción

La proporción poblacional se define como la razón entre el número de unidades poblacionales que poseen cierta característica y el total de unidades de la población.
Suponga que se tiene una muestra aleatoria X1, X2,….., Xn proveniente de una población que sigue una distribución Bernoulli, Be (p). 

Definimos:

donde   Xi  = 1 con probabilidad p

             Xi  = 0 con probabilidad 1-p=q

entonces Y cuenta el número de éxitos en n intervalos. 

La proporción de “éxitos” en la muestra.

La v.a Y∼ Bi(n,p), por lo que:

µ=np                 σ² = npq

y se cumple:

   Ejemplo:

En un proceso de Poisson el 20% de los productos tiene algún defecto. Se selecciona una muestra de 100 unidades y se cuenta el número de artículos defectuosos. Determinar la probabilidad de que la proporción de defectuosos se encuentre entre el 15% y 29%.

X: Artículos Defectuosos

Intervalo de Confianza para la Proporción

   Conceptos básicos:

    Método tradicional:

Es ampliamente usado pero no recomendado.
Sea p̂ la proporción de éxitos en un gran número n de ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p. Entonces el intervalo de confianza tradicional de nivel 100(1-α)% para p es:

    Ejemplos: 
1. Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al teatro regularmente . Halla con un nivel de confianza del 94 % un intervalo para estudiar la proporción de los ciudadanos que van al teatro regularmente.

2.  Tomada al azar una muestra de 500 personas de una determinada comunidad , se encontró que 300 leían la prensa regularmente . Halla con una confianza del 90 % , un intervalo para estimar la proporción de lectores entre las personas de la comunidad.

7 de febrero del 2017

Clase #14

Intervalo de Confianza para la Media Poblacional con Muestras Pequeñas

Es una distribución probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeña.

Los grados de libertad (n-1) con el número de variables aleatorias independientes de una muestra:

 gl= n-1

donde:

                              
X: media muestral
σ: desviación estándar muestral
n: tamaño de la muestra
µ: La media poblacional

     Propiedades:

1. Si n es grande (n≥30) se puede usar la tabla nomal con z.
2. Si n es pequeña (n < 30) se usa la t de student. 
3. Si se necesita una probabilidad de que no está tabulada se realiza “interpolación lineal”

     Propiedades para intervalos: 

1. No usa t student si la muestra contiene datos atípicos (realizar diagrama de cajas o puntos). 
2. Se usa t student si la muestra proviene de una población que es más o menos normal. 
3. Si se conoce la desviación estándar poblacional (σ) utilizar Z y n o t.

     Ejemplos:

1. Se asume que los puntajes de coeficientes intelectuales IC se distribuyen de una manera normal, con una media de la población 100, si 20 personas se seleccionan aleatoriamente y se someten al test, la desviación estándar del grupo es de 15. Cuál es la probabilidad de que el porcentaje promedio del test sea como máximo 110.

Distribución de Muestreo de la Varianza

Ley de la distribución X²

Sean X1...X2…, Xn variables aleatorias independientes que siguen una distribución normal estándar, la variable aleatoria definida por:

Tiene una distribución X² (ji cuadrada) con n grados de libertad (gl).

     Ejemplos:

1.  Se desea conocer el valor de la ley a 4 (gl) para el cual el área en el extremo superior es igual a 0.025.

2. Se seleccionan muestras de tamaño 18 de una población, en la que una variable aleatoria se distribuye de forma normal con desviación de 3. Calcula la probabilidad de que la varianza de una muestra sea menor que 4.

10 de febrero del 2017

Clase #15

Intervalo de Confianza para la Varianza

Supóngase que se requiere estiman la varianza y se dispone de una muestra X1, X2,….., Xn que suponemos proviene de una ley normal.

      Ejemplos:

1. Hallar el intervalo de confianza para la varianza poblacional al 90%, para una muestra de tamaño n=10.

Prueba de Hipótesis para la Media Poblacional con Muestras Grandes

Prueba de hipótesis es una prueba estadística regida por tablas donde encontramos los valores que disocian un resultado típico o de alta probabilidad de un resultado atípico.
Nos permite determinar si la hipótesis es un enunciado razonable y no debe rechazarse o si no es razonable y debe ser rechazado.

• Hipótesis nula H0: afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional.
• Hipótesis alterna H1: afirmación que se aceptará si los datos muestrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa.
• Nivel de significancia: Es la máxima cantidad de rechazo que estamos dispuestos a aceptar. (α = 0.05 o en su forma 5%)
• Valor crítico: el punto que divide la región de aceptación y la región de rechazo de la hipótesis nula.
• P-valor: Es la probabilidad, bajo el supuesto que H0 es verdadera.

   Propiedades:

1. Trata de un trabajo de investigación en el que se plantea dos hipótesis mutuamente excluyentes
2. Al aumentar el tamaño muestral las probabilidades de rechazo y aceptación decrecen a la vez.
3. Se dispone de una muestra de una población determinada
4. Muestra grande (n > 30)

Para mayor información clic aquí:  Exposición, la cual fue realizada por un compañero y mi persona o también podrán encontrarla en Evidencias.